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第1篇：有理數的乘法教學案例范文

關鍵詞：過程生成；基克問題解決模式；有理系數多項式；可約性；教學設計

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）05-015-03

培養學生的問題解決能力，已是各國教育改革中倍受關注的問題，然而我國的實際教學卻不盡如人意，尤其是高等數學課堂，大都沉浸在“定義性質定理例題”的注入教學中，無益于數學素質的提高與創造型人才的培養。為何如此？一是遺傳多年的傳統觀念的冥頑不化，二是教育研究重理論而不重實踐。筆者倡導“過程生成”教學理念，本文給出基于“過程生成”理念的基克問題解決模式教學設計實例。

一、過程生成理念

基于過程哲學思想，參照基礎教育新課改的三維目標，筆者提出“過程生成”教學理念：

教學是動態的知識生成過程。該過程始于某種背景，在思想、情操的層層支配下，激發對學習目標的步步追求，從而誘導已有知識、技能、方法的循循攝入，形成流變與合生：在流變中創造新知識、練就新技能、獲得新方法、增長新智慧、形成價值觀、積聚創造能量。

過程生成不是過程與生成的簡單疊加，而是強調在過程中生成(因為對教學而言，有教學過程未必有生成，有生成未必有良好的過程),其中過程是基礎，生成是創造，二者缺一不可，相輔相成。

過程生成教學以過程哲學為世界觀，以意會哲學為認知論，以知識在過程中生成為基本策略，以動態性、整體性、連續性、攝入性、生成性為基本原則。

二、基克問題解決模式

20世紀初以來，人們對問題解決及其相關思維技能作了大量的研究，尤其是自皮業杰的認知理論面世和認知心理學產生以后，人們更熱衷于從認知的角度來解釋人類解決問題的過程，更真實地描述了人類解決問題的動態過程，基克問題解決模式(圖1所示)就是其中之一。

三、基于“過程生成”理念的基克問題解決教學模式

遵循“過程生成”理念，參照基克問題解決模式，提出基于“過程生成”理念的基克問題解決教學模式如下：

1、提出問題

2、理解表征問題

找出相關信息，忽略無關細節，分析詞句含義，理解表征問題。許多問題中，運用圖形表征可能更有助于理解整個問題。在理解表征問題過程中，若問題的解析與頭腦中已有的的解題系統產生某種匹配(即“圖式激活”)，則直接進入嘗試解答階段，否則需要尋求解答的路線。

3、尋求解答路線

尋求解答路線的一般方法可能有算法式和啟發式，常用的啟發式有目的分析法、逆向反推法、爬山法、類比思維法等。如果尋求失敗即退回到№2。

4、嘗試解決方案

亦即是執行解答計劃，此時要保證每一個步驟的正確。

5、評價總結

當完成某個解決方案后，要對結果進行評價總結。如果成功且滿意就停止，那么就要對求解過程予以完善且建構；否則就退回到前面幾個階段，重新求解。

需要注意的是，如此分步只是一種表述形式，實際的問題解決過程并非為如此線性，可能是跳來跳去的、跨步的。

基于“過程生成”理念的基克問題解決教學重在體現具有動態性、整體性、連續性、攝入性和生成性的問題解決過程。

四、案例設計

在高等代數教材或教學中，關于有理系數多項式的可約性都是直接定義本原多項式，直接給出高斯引理，直接給出愛森斯坦判別法，無益于數學素質和創造能力的培養。本文使用基于“過程生成”理念的基克問題解決模式，給出有理系數多項式的可約性問題的教學設計，意在拋磚引玉，達到棄絕注入式教學模式的目的。

1、問題提出

我們知道，在上只有一次多項式不可約多項式，在上只有一次或二次不可約多項式，但在上卻有任意次不可約多項式．那么就存在問題：如何判斷有理系數多項式在上的可約性？

2、理解和表征問題

（1）分析聯想：激活基本圖式

有理數，即整數之比，聯想到解分式方程去分母，頓悟出：有理系數整系數。如，顯然與在上有相同的可約性，此例具有一般性。于是有理系數多項式在上可約性的研究可歸結為整系數多項式在上的可約性來研究。

（2）奇思異想：初擬求解路線

設，討論的可約性。因為整系數容易處理，并且“在上可約在上也可約”，所以如果能證明“在上可約在上可約”，那么有理系數多項式在有理數域上可約性問題即可以轉化為整系數多項式在整數環上來研究，倘若如此豈不快哉！因此我們大膽地確定問題解決路線：

嘗試證明以上“期望”：在上可約在上可約；

當“期望”成立時，尋求整系數多項式在整數環上可約性的判別方法。

3、尋求解答

探究：設且在上可約，為簡明起見，簡寫為，探究過程見圖2。

圖2說明：只要證明的系數互素，我們的期望就能夠實現。注意到，其中是系數的最大公因數，所以的系數互素。于是所要證明的問題即是“由、的系數互素推出的系數互素。為了表述方便，稱系數互素的整系數多項式為“本原多項式”。這樣所證問題即可表為：

猜想I：本原多項式的乘積是本原多項式。

4、嘗試解決方案

（1）試證猜想I

設、都是本原多項式，且，，要證是本原多項式，即需證明。但因為的系數是抽象的而無法直接推演，故考慮反證法。

假如，為爭取更好的可用條件，取的素因子而代替。分析已知條件與的關系：因為、都是本原多項式，所以的系數中存在著不能被整除的數，的系數中也存在著不能被整除的數，于是應抓住這些不能被整除的系數來“做文章”。不過因為或者中不能被整除的系數并不確定，所以如何“抓”就成了問題。然而“槍打出頭鳥”卻隱喻著深刻的數學哲理：第一個、最大的、最小的等等都是很好的數學方法！所以不妨設、…、但，、…、但，依此假設及素數的性質即可推得，獲得矛盾，所以猜想成立，亦即是得到了高斯引理。

至此我們得到結論“若，則在上可約在上可約”。于是可進入。

第2篇：有理數的乘法教學案例范文

一、精心設計教學，充分暴露過程

教師要設計出科學、清晰的教學思路，暴露出數學家、教材編寫者、教師、學生的思維過程。教學思路不等于教師的思路，也不等于學生和教材的思路，更不等于數學家的思路，而是在協調上述4個思維過程（思路）相互關系上形成的一條以學生思維為核心、教與學協同發展的整體思路，這樣才能真正做到以思維過程為中心來組織教學。例如數學概念是整個數學知識結構的基礎，是構成數學知識體系的“細胞”。現行九年義務教學教材中許多內容都簡化了概念的提出過程，省略了暴露概念提出的豐富知識背景及發展、探索過程，而這些概念是如何抽象、概括的，解決問題的方法是如何構想的，學生都甚感茫然。因此教師不應急于把概念全盤托出、一言了之，而應精心探究，重新組織教學內容，設計合理而完美的教學流程，展現數學知識的發展過程，充分暴露知識的背景，為學生創設問題情景，以順應學生的心理需求和思維發展規律。例如在教學有理數乘方概念時，可通過設計環環相扣的提問，引入概念：（1）棱長是5厘米的正方體的體積如何表示?（2）4個負6相乘，用式子如何表示?4個字母a相乘呢?（3）上述幾個式子都是什么運算?（4）乘法運算的結果是什么?（5）上述各式的因數有何關系?（6）提出乘方概念。然后安排一些坡度適宜的題以使學生初步形成乘方概念。這樣的概念教學不僅能充分暴露問題的提出、發展過程，而且能使學生在整個過程中始終處于積極的思維狀態，達到思有源泉、思有方向、思有順序、思有所獲。

總之，講解概念要求構建情境，提供素材，揭示概念的形成過程；講解定理（公式）要求模擬定理（公式）的發現過程；例題、習題的教學要求探索變式，拓廣成果，對解題思路進行內化、深化探索，總結升華，也就是說，應注意數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解題思路的探索過程，解題方法和規律的概括過程，使學生在這些“過程”中展開思維，發展能力。

二、反思學生所想，倒攝暴露思維

學生解題往往只注重結論的正確與否，而很少關注這個結論的思維過程，并從中總結經驗，深化知識。因此，教師看到學生的正確答案時，不能就此滿足，而應該啟發如何發現、選擇與調控解題思路，引導學生（根據需要和可能）去反思思維過程，倒攝結論的形成路線，達到暴露思維的目的。例如在一元二次方程的根與系數關系應用的一節習題課教學中，我叫一名學生板演習題：已知兩數a、b滿足ab≠1，且2a+8a+3=0，3b+8b+2=0，則有=（）。這個學生觀察片刻，便添上了正確答案1.5。如此神速，令一些同學目瞪口呆。我抓住契機，誘導學生自我倒攝思維過程，既優化了該生自身的思維品質，又啟迪了其他學生的思維。

計算是七年級數學的教學重點也是難點，如何把握這一重點，突破這一難點呢?例如在上完有關冪的性質后，進入下一階段――單項式的乘除法時，我設計了如下兩個例題：

（1）請分別指出（-2）×2，-2×2，-2-2，2-2的意義。

（2）請判斷下列各式：

①a+a=a

②a÷a=a=a

③-ag（-a）=（-a）+2=-a

④（-a）÷a=0

⑤（a-2）?a=a+3+1=a

解后我便引導學生進行回顧小結：（1）計算常出現哪些錯誤?（2）出現這些錯誤的原因有哪些?（3）怎樣克服這些錯誤呢?同學們各抒己見，針對各種“病因”開出了有效的“方子”。實踐證明，這樣的例題教學是成功的，學生在計算的準確率、計算的速度兩方面都有了極大的提高。

三、實施小題大做，顯微暴露思維

數學中的許多細小部分往往蘊涵著十分豐富的思想內含，存在著很大的訓練價值。在這些地方教師要善于化隱為顯，“小題大做”，挖掘其精髓，促使學生在顯微中充分暴露思維過程，發揮其應有的潛在功能。這樣不僅能活躍學生思維，拓寬思路，而且能激發學生的求知欲望，培養探索能力，長期堅持下去，形成良性循環，十分有利于學生智力的發展和數學能力的提高。例如絕對值概念：

|a|=a（a>0）0（a=0）-a（a

教師教會學生這一代數定義固然重要，但更重要的是引導學生清晰地領會利用分類思想解決問題的方法。所以在講授時應采用慢鏡頭式的思維剖析，暴露分類思想的思維過程，為后面的廣泛應用奠定堅實的基礎。

例如學生在解“ax+b＝cx+d”類型的一元一次方程時，很容易在符號上出錯，從而導致答案的錯誤。教師可以對學生進行“小題大做”，顯微暴露。

解方程6x-7=4x-5，學生板練如下：

解：6x+4x=7-5 10x=2 x=0.2 （1）

我在教學過程中并沒有隨口問：“同學們，這個同學做得對嗎？”而是問：“同學們，還有其它不同的解答嗎？”學生陷入了沉思，經過演算，又有許多同學舉手了，其他解答如下：

解：6x-4x=-5-7 2x=-12x=-6 （2）

解：6x-4x=-5+72x=2 x=1（3）

“那么這個一元一次方程到底還有沒有其它的解呢？如果有的話，一共有多少個解呢？”

討論結果是：這個一元一次方程的解只有一個，解法（3）才是正確的。

學生在學習一元一次方程“ax+b=cx+d”的解法時，逐步體會到了化歸思想（使方程逐步轉化為“x＝a”形式），而在這個過程中出現各種錯誤（主要是忽略了方程的項是連同前面的符號）是學生（特別是基礎不夠扎實的同學）的共性，我根據其數學思維過程的呈現，引導他們積極探索，使他們經歷了“觀察、實驗、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動的基本過程，優化了學生的思維品質，提高了數學思維能力，培養了創新精神和實踐能力。

我曾經聽過《多邊形的內角和》的教學的一堂優質課：執教老師這樣安排學生探究，逐步暴露學生的思維過程，讓學生在過程學習中掌握數學思想方法：

探索一：老師拿出一張四邊形紙片，請同學們回答這四邊形的內角和為多少度？

學生用多種方法得出結果：1.直接量出每個內角度數，然后相加；2.把四邊形分成三角形，計算內角和；3.利用已經知道的結果；……

引導學生思考：在方法2中有幾種不同的分法？

探索二：再拿出一張五邊形紙片，要求學生用分割成三角形的方法，求五邊形的內角和。如果是六邊形、七邊形呢？

當學生經歷、體驗了不同的探索方案后，再引導學生思考：從剛才的探究中，你又發現了什么？你是怎么推導出來的？這種思考方法對自己今后學習有什么啟發？

通過親身體驗、反思，學生獲得了一種重要的數學思想方法，學會了從多角度去思考體會探索的方法、策略，并在探究中不斷地展現自己的思維過程，加強了數學知識和能力的相互溝通，提高了問題解決的能力。

四、了解學生難惑，鋪墊暴露思維

數學解題過程是思維的過程，解題方法的優劣、速度的快慢都取決于思維能力的高低。而思維的提高與發展又依賴于解題過程中所創設的問題情景，所以解題訓練是培養思維能力的良田沃土。一般來說，綜合性能愈強，知識跨度愈大的數學題，要求解題的思維層次愈高、方法的技巧性愈熟練，學生就愈難以理解，思維的訓練價值愈大。這就要求教師精心設計，作必要的鋪墊，以減少坡度，順利地從未知引渡到已知。這種鋪墊引渡，實質上就是把架橋鋪路的思維過程暴露出來，化作切實可行的小步子。例如學過二次函數的頂點式內容之后，讓學生解答這樣一道題目：（如圖1）在一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米，問此球能否投中？

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學生紛紛建立平面直角坐標系（如圖2），點（4，4）是圖中這段拋物線的頂點，由頂點式解得這段拋物線對應的函數為：y=-（x-4）+4（0≤x≤8）

當x=8時，y=

籃圈中心距離地面3米

此球不能投中

個別學生運用拋物線的對稱性，觀察出該拋物線經過了（8，）點，得出了同樣的結論。

學生一般做完題就萬事大吉，很少有人能夠深入地反思，因此錯過了研究探索的契機。我不失時機地發揮指導作用，引導學生思索。

師：若假設出手的角度和力度都不變，則如何才能使此球命中?

生：跳得高一點；向前平移一點。

師：在出手角度和力度都不變的情況下，小明的出手高度為多少時能將籃球投入籃圈?（如圖3）

師：在出手角度、力度及高度都不變的情況下，則小明朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃，也能將籃球投入籃圈？（如圖4）

這是一個以學生日常生活為背景，適合初中學生探究的問題，學生可以初步學會從數學角度去解決實際問題，掌握數學的思維方法，將探究、創新活動貫穿于課堂教學，使學生的學習由被動灌裝變為主動的探索，學生的自主性、能動性和創造性得到培養。可見鋪墊思維暴露，實質是給學生架設“梯子”，促使學生思維躍上“臺階”。

五、開展誘錯悟誤，糾繆暴露思維

在學習活動中，學生的思維錯失和思維定勢偏差往往帶有很強的主觀性，常又具有普遍性。抓住它作剖析治理，有較大的訓練價值。《中小學數學》初中（教師）版2004年第5期刊登了這樣的教學案例：一位初一的老師在講完負負得正的規則后，出了這樣一道題：“3×（-4）=?”A學生的答案是“9”。老師一看：“錯了!”于是馬上請B同學回答，這位同學的答案是“12”，老師便請他講一講算法：……下課后聽課的老師對給出錯誤的答案的學生進行訪談，那位學生說：站在-3這個點上，因為乘以“一”，所以要沿著數軸向相反方向移動四次，每次移三格，故答案為9。他的答案的確錯了，怎么錯的?為什么會有這樣的想法?又怎樣糾正呢?如果我們的例題教學能抓住這一契機，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。因此，教師有時還應有必要采用多種手段如相似因素的遷移、思維定勢的誘導、特殊條件的遺漏、應具條件的欠缺、沖動心態的干擾、終極目標的誘惑等巧妙設置某種誘誤情境，讓學生充分暴露病源，然后引導他們進行自我治療，從“陷阱”中掙扎出來，走出誤區，吃塹長智。但是學生在學習中的謬誤，有時比較隱蔽，隱藏于深層次中，不充分暴露思維過程，就治不到“點”子上，挖不到“根”子上。教師在為學生糾繆救失時，要重視思維過程的展現，以便從深層次上作診斷和矯治。例如：已知等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則頂角等于?搖?搖?搖?搖。學生往往錯解為30°，錯誤的原因就是學生沒有認真理解“三角形的高”這個知識點。他們認為“三角形的高”都在三角形內部。學生通過反思、討論，知道鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，從而得到另一解為150°。通過反思，學生們發現本題的錯誤在于對圖形的分類不全面造成漏解。

總之，面對學生的失誤，老師不要過早地點明，而應在暴露學生思維失誤的過程中，讓學生自我發現，并在老師的正確思維的積極引導下自我糾偏。同時，在糾繆過程中彌補學生的知識缺陷和思維缺陷，更有力地促進思維日益縝密。

六、言盡但是意存，延伸暴露思維

教師指導學生解題，常有這種現象，題目解完了，但學生的思維過程并沒有就此結束，正在向縱深拓進，可謂“言盡意存”。教師若能有效地抓住這個理想的思維機會，把延伸的思維過程揭示出來，也是很有訓練價值的。譬如，解后審視解題過程，評價原認識過程、檢查解題過程是否準確，討論或論證是否嚴密，方法是否恰當，有沒有更簡潔更高明的方法，對所得到的結果能否進一步引申推廣，能否總結出規律來，等等。例如：已知一元二次方程ax+bx+c=0，兩實根的平方和為m，兩實根的和為n，試求am+bm+2c的值。對于此題，很多學生在練習時，沒有清晰的思路；有些學生考慮了根與系數的關系，雖然能解出此題，但過程較為繁瑣。于是我在點評時，鼓勵大家反思題目已知及所求目標的特征，比較所求目標am+bm+2c與方程ax+bx+c=0，就會發現它們中a、b、c出現的順序完全一致，只是目標中c的系數為2，方程中c的系數為1，而從1到2的最簡單的方法就是加法。經過如此反思、探索，基礎較好的學生馬上頓悟：為什么不利用方程根的定義來解決這一問題呢？于是得到了簡捷的求法。

通過對解題思維的反思，學生重新審查題意，更正確、完整、深刻地理解了題目的條件和結論，激活了思維，開闊了思路，使思維的靈活性在變換和化歸的訓練中得到了培養和發展。

綜上所述，通過延伸思維引導學生自我總結和領悟解題中的數學思維與數學方法，積累對數學知識聯系的整體感知，這對于培養學生思維的評價能力、發散能力、創造能力，提高學生的數學素質大有裨益。過程教學是很精彩的，但必須是科學的、合理的、自然的，否則，過程教學就只是花架子，起不到任何培養學生思維能力的作用。

參考文獻：

［1］張乃達.思維的基本結構與發現法教學［J］.數學通報，2004，（2）.

［2］涂榮豹.談提高對數學教學的認識［J］.中學數學教學參考，2006，（1-2）.